Se você fez tudo como esperávamos, terá encontrado valores próximos aos que estão na tabela abaixo:
Veja que o asteroide tem velocidade maior quando está mais próximo do Sol (periastro), e velocidade menor quando mais afastado (Apoastro).
O gráfico abaixo mostra como a velocidade média tem valores diferentes em cada período.
Podemos perceber essa variação da velocidade (instantânea) na animação abaixo.
O gráfico abaixo mostra como a velocidade média tem valores diferentes em cada período.
Podemos perceber essa variação da velocidade (instantânea) na animação abaixo.
Até Kepler, os astrônomos apenas descreviam os movimentos celestes, mas não os explicavam. Ele inovou ao tentar dar explicação para esse fato. Segundo ele, uma força magnética exercida pelo Sol era responsável pela variação da velocidade. Apesar de sabermos hoje que a natureza dessa força não é magnética, mas gravitacional, a hipótese de que a variação da velocidade está associada a uma força, foi um grande passo dado por Kepler.
Mas existe uma grandeza física que pode também explicar esta variação de velocidade, o momento angular (L), associado à rotação de um corpo, ou mesmo de um sistema.
Mas antes de estudarmos esta grandeza, vamos falar de outra, o momento linear (p), também chamado de quantidade de movimento. Esta grandeza está associada à translação, ou seja, movimentar-se em linha reta. Então, vejamos:
Quando um corpo tem uma velocidade v e massa m em certa direção num referencial, aquele passa a ter uma certa "quantidade de movimento" (p). p tem a mesma direção e sentido de v. Em um sistema isolado, o momento linear se conserva, ou seja, não varia o seu valor.
O módulo de p é dado por:
p = m.v
Quando Newton publicou Principia, em 1687, essa grandeza foi fundamental em seu trabalho.
Existem algumas analogias entre grandezas lineares e rotacionais. Uma delas é que o momento linear está para translação, como o momento angular está para a rotação (e também revolução).
Somente no século seguinte (XVIII), o suíço Leonhard Euler publicou um trabalho no qual tratava das Leis de Newton em termos rotacionais. Ele escreve que ao ser dado uma rotação a um corpo em relação a um referencial, aquele passa a ter também uma grandeza rotacional que se conserva, caso forças externas não atuem, o momento angular (L). Quando uma criança brinca com um pião, a tendência de conservação dessa grandeza fica evidente quando o pião não tomba enquanto gira. Se não existisse atrito com o chão e o ar, ele giraria pela eternidade, como acontece com os corpos celestes que vagam no espaço livres de atrito, daí rodopiam por bilhões de anos sem parar. Só para lembrar, a Terra tem cerca de 4,5 bilhões de anos, com rotação e revolução.
Certamente os resultados obtidos por Kepler no século anterior influenciaram o trabalho de Euler.
Para um corpo que gira em torno de um ponto, como um planeta ou asteroide em torno do Sol, o momento angular correspondente é obtido através do produto de três quantidades:
- a massa (m) do corpo que gira em torno de um ponto.
- a velocidade (v) do corpo.
- a distância (r) medida do corpo (asteroide) até o ponto fixo em torno do qual ele está girando (o Sol, no caso dos Sistema Solar).
O módulo do momento angular L é obtido pela expressão:
Onde α é o ângulo entre as direções de r e v.
No afélio e periélio, α=90o, e senα=1, de modo que naqueles pontos da trajetória, o momento angular pode ser escrito como:
Considerando que L se conserva e o asteroide não perca massa,
L(periastro)=L(apoastro)
Sabemos que,
r(periastro) < r(apoastro),
isso implica que, para L não variar,
v(periastro) > v(apoastro).
Ou seja, para que o momento angular se conserve, a velocidade do asteroide aumenta gradativamente conforme a distância orbital diminui, atingindo a máxima velocidade no periastro; e diminui gradativamente conforme a distância orbital aumenta durante a volta ao apoastro, onde atinge a mínima velocidade.
Kepler não buscou explicação para a variação da velocidade dos planetas através do momento angular. Para ele, a mudança se devia às forças magnéticas entre o Sol e os corpos celestes, e dependia da distância entre eles; segundo Kepler, eles se comportavam como ímãs: quanto mais próximos, maior a força magnética entre eles, consequentemente, maior a velocidade; quanto mais afastados, menor a força magnética, menor a velocidade.
Devido ao trabalho posterior de Newton (Principia), hoje consideramos que a interação entre os corpos celestes é de natureza gravitacional; mas a conclusão levantada por Kepler, que as forças modificam o movimento, foi muito relevante, ainda que atualmente consideremos "errada" a hipótese levantada por ele da natureza da força (magnética) que o Sol exercia sobre os planetas. Em Astronomia Nova, ele não quis apenas descrever os movimentos dos planetas como fizeram Aristóteles, Ptolomeu, Copérnico, Tycho Brahe, mas buscou também explicação física para eles. Esta foi outra grande contribuição de Kepler para o desenvolvimento da ciência, além das leis duas primeiras leis do movimento planetário que já conhecemos.
Agora vamos estudar o último resultado que Kepler chegou. Clique no link abaixo e vamos continuar.